Spurs zakończyli 17-letnią suszę trofeów, wygrywając 1:0 w Bilbao dzięki bramce Brennana Johnsona.
United, którzy zajmują 16. miejsce w Premier League, po raz drugi od 35 lat nie zagrają w przyszłym sezonie w europejskich pucharach.
"Dla klubu takiego jak Manchester United, to sytuacja nie do przyjęcia", powiedział Shaw.
"Myślę, że zdecydowanie ja i myślę, że każdy z nas musi dziś zadać sobie pytanie, czy jesteśmy wystarczająco dobrzy, aby tu być? Ponieważ ten klub, ten sezon, jest nie do przyjęcia".
Porażka zwiększy presję na trenerze Rubenie Amorimie, który nie zdołał wywrzeć żadnego pozytywnego wpływu na wyniki, odkąd objął stery w listopadzie.
Shaw poparł trenera United, aby pozostał na stanowisku i powiedział, że odpowiedzialność musi spoczywać na zawodnikach, a nie na Amorimie.
"Myślę, że jest wiele rzeczy, które należy zmienić. Myślę, że dlatego Ruben jest w 100 procentach właściwą osobą" - dodał Shaw.
"Ponieważ wie i widzi dzień w dzień w klubie, nie tylko na boisku, ale także poza nim, wokół klubu, standardy, sposób myślenia. Myślę, że widzi wszystko i wie, co musi zmienić".