Czeski pomocnik Tomas Soucek dał Młotom prowadzenie w 67. minucie, podkręcając piłkę w prawy dolny róg po podaniu Jarroda Bowena.
Irlandzki obrońca O'Brien uratował wynik gospodarzom po uderzeniu z bliskiej odległości w 90. minucie po tym, jak Everton miał mieć rzut karny w pierwszej połowie, ale został on unieważniony przez VAR, gdy powtórka pokazała, że Beto kopnął murawę, a nie został sfaulowany.
„Po prostu wszyscy poszliśmy w pole karne. Trochę goniliśmy wynik” - powiedział O'Brien BBC. „W pierwszej połowie mieliśmy wiele okazji. Przez 20 minut byliśmy bezczynni i wtedy nas złapali, ale potem zebraliśmy się w sobie i goniliśmy wynik”.
Carlos Alcaraz mógł wyrwać zwycięską bramkę dla Evertonu, ale strzelił tuż obok słupka.
Sobota była pierwszym spotkaniem klubów od czasu powrotu Moyesa do Evertonu, drużyny, którą prowadził w latach 2002-13. Wrócił do klubu z Liverpoolu w styczniu po odejściu z West Hamu pod koniec ubiegłego sezonu.
Moyes, który w programie meczowym opisał swój pobyt w Londynie, podszedł po ostatnim gwizdku pochwalić kibiców gości.
Remis sprawił, że obie drużyny mają po 34 punkty i mają już niewiele do wygrania w tym sezonie. Nie mają już szans na europejskie puchary, ale są też bezpieczne w kwestii utrzymania.
Everton jest na 14. miejscu, West Ham na 16., oba mają 17 punktów przewagi nad ostatnią trójką i dziewięć meczów do końca.
„Musimy być rozczarowani” - powiedział Soucek. „Nie przegrali przez dziewięć meczów, więc trudno się tu gra. Mają świetnych kibiców i to ich ostatnie kilka meczów na tym stadionie”.
Evertonowi pozostały jeszcze cztery mecze ligowe na własnym boisku, zanim przeniesie się na nowy obiekt.