Według Sky Sports, hiszpańscy giganci złożyli nieformalne zapytanie o dostępność 26-latka.
Obecny kontrakt Alexandra-Arnolda wygasa z końcem sezonu, a hiszpańskie media sugerują, że zawodnik poinformował Liverpool o chęci dołączenia do Realu Madryt.
Od 1 stycznia Real Madryt będzie mógł rozpocząć bezpośrednie negocjacje z Alexandrem-Arnoldem w sprawie umowy przedwstępnej.
Alexander-Arnold, wraz z Mohamedem Salahem i Virgilem van Dijkiem, są obecnie w trakcie negocjacji kontraktowych z Liverpoolem, ponieważ wszyscy trzej zawodnicy mają zostać latem wolnymi agentami.
Van Dijk niedawno oświadczył, że nie ma "żadnego terminu" dotyczącego jego umowy, gdyż do końca jego kontraktu z Liverpoolem pozostało niewiele czasu.
Obecna umowa Holendra wygasa z końcem sezonu, a od 1 stycznia będzie on mógł negocjować z zagranicznymi klubami.
Wiadomo jednak, że 33-latek wolałby pozostać na Anfield.
"Nie ma żadnego ostatecznego terminu. Zobaczymy, co przyniesie przyszłość. Czy jest jakaś aktualizacja? Nie" - powiedział dziennikarzom na początku tego miesiąca.
Salah przyznał jednak, że nie ma zbyt wiele do powiedzenia w kwestii nowego kontraktu.
Egipcjanin został zapytany o aktualizację po zwycięstwie Liverpoolu nad West Hamem w niedzielny wieczór.
"Nie, jesteśmy daleko od tego" - odpowiedział zapytany o nowości kontraktowe. "Nie chcę nic mówić w mediach".
"Jedyną rzeczą, o której myślę, jest to, że chcę, aby Liverpool wygrał ligę i chcę być tego częścią".
"Dam z siebie wszystko, aby drużyna zdobyła trofeum. Jest kilka innych drużyn, które nas doganiają i musimy pozostać skoncentrowani i pokorni, aby znów wygrać".