Simonian wywalczył złoty medal na igrzyskach olimpijskich w Melbourne w 1956 roku. Wystąpił także dwa lata później na mundialu w Szwecji, gdzie drużyna ZSRR odpadła w ćwierćfinale, po porażce z gospodarzami 0:2.
W reprezentacji Związku Radzieckiego rozegrał 20 meczów, strzelając 10 goli. Jako selekcjoner prowadził ją w latach 1977-79. Na przełomie 2010 i 2011 roku pełnił przez kilka miesięcy obowiązki prezesa Rosyjskiej Federacji Piłkarskiej.
Był legendą Spartaka Moskwa. Do dziś z dorobkiem 160 bramek pozostaje najskuteczniejszym strzelcem w historii klubu, z którym zdobył czterokrotnie mistrzostwo kraju, a jako trener trzykrotnie.
Simonian został najstarszym żyjącym mistrzem olimpijskim pod koniec października, po śmierci francuskiego kolarza Charles'a Coste'a w wieku 101 lat. Obecnie najstarszym złotym medalistą olimpijskim jest 98-letni węgierski pięcioboista nowoczesny Gabor Benedek.