Kokszarow z reprezentacją Rosji zdobył złoty medal na igrzyskach olimpijskich w Sydney (2000) oraz brązowy na igrzyskach w Atenach (2004). Na swoim koncie ma również złoto (1997) i srebro (1999) mistrzostw świata oraz srebro mistrzostw Europy (2000).
Na poziomie klubowym lewoskrzydłowy grał w krasnodarskim SKIF, słoweńskim Celje, w którego składzie wygrał Ligę Mistrzów (2004), oraz w Czechowskich Niedźwiedziach. Był ośmiokrotnym mistrzem Słowenii i pięciokrotnie sięgnął po puchar tego kraju. Z Czechowskimi Niedźwiedziami dwa razy wygrał mistrzostwa Rosji.
Z 1110 bramkami jest najlepszym strzelcem w historii sbornej. Na mistrzostwach świata w 2001 roku został najskuteczniejszym zawodnikiem turnieju, zdobywając 61 bramek.