Urodził się z Manisie, jest wychowankiem izmirskiego Altinordu i ustanowił rekord jako najmłodszy strzelec gola w tureckiej pierwszej lidze (zaplecze Super Lig). Burak Ince miał w dniu meczu z Eskisehirsporem 15 lat, 7 miesięcy i 25 dni, zawodową karierę rozpoczął miesiąc wcześniej.
Ponieważ w tym samym meczu zaliczył również asystę, zawodnik szybko znalazł się na ustach kibiców i dziennikarzy. Do uzyskania pełnoletności grał niezmiennie w Altinordu, w sumie notując 71 meczów, 10 goli i trzy asysty. Grał w reprezentacjach młodzieżowych Turcji od U14 aż do U21.
Wróżono mu karierę w Bayernie, Leicester City lub Manchesterze City, które miały być zainteresowane wzięciem perspektywicznego pomocnika pod swoje skrzydła. Do transferu na zachód faktycznie doszło, ale tylko do Arminii Bielefeld, gdzie Ince trafił na początku 2022 roku.
Gdy przychodził, Arminia była jeszcze w Bundeslidze, ale już na równi pochyłej, która doprowadziła do dwóch z rzędu spadków. W Niemczech nie dostał szansy, na jaką liczył - zagrał łącznie siedem meczów przez półtora sezonu. Pogrążona w ogromnych kłopotach Arminia przechodzi przez zmiany kadrowe. i umowa Buraka Ince nie została przedłużona. Śląsk zaoferował mu grę do 2025 roku, z możliwością przedłużenia o kolejny sezon w razie satysfakcjonującej współpracy.
Dyrektor sportowy WKS-u David Balda jest bardzo zadowolony, że udało się pozyskać zawodnika. Liczy, że nastawiony ofensywnie piłkarz wniesie ożywienie do gry drużyny, a i sam nauczy się sporo we Wrocławiu.
"Burak Ince to dobrze wyszkolony technicznie zawodnik, który z powodzeniem może grać na kilku pozycjach w drugiej linii. Bardzo liczymy, że jego wszechstronność i kreatywność znacząco zwiększą nasz potencjał ofensywny. Tym bardziej, że Burak ma dopiero 19 lat i nadal się rozwija" – powiedział Balda.