Mierzący 194 centymetry golkiper przez ostatnie dwa sezony reprezentował Motor Lublin, w barwach którego rozegrał 37 spotkań w Ekstraklasie. Swoją seniorską karierę w Chorwacji rozpoczął w NK Istra, gdzie występował przez trzy sezony. Później grał także w NK Lokomotiva Zagreb, NK Imotski oraz HNK Cibalia.
W 2018 roku po raz pierwszy wyjechał za granicę, zasilając szeregi FK Zrinjski Mostar. W bośniackim klubie zanotował 68 występów i 28 razy zachował czyste konto. Następnie reprezentował FC Riga, a do Polski trafił latem 2024 roku z azerskiego Neftchi PFK. Brkić ma również na koncie dwa mecze w reprezentacji Chorwacji U-21.
"Jestem szczęśliwy i dumny. To będzie przyjemność i honor reprezentować najbardziej utytułowany klub w Polsce. Nie mogę się doczekać, kiedy zacznę treningi. Mam w sobie wiele emocji podczas meczów i treningów, przeżywam każdy moment i jestem typem lidera, ciężko pracującego zawodnika, dla którego wszystko dzieje się dzięki włożonemu wysiłkowi. Wiem, że w Legii gra się pod dużą presją oczekiwań. Chcę dobrze zaprezentować się i pokazać swoją jakość" - powiedział Ivan Brkić w rozmowie z oficjalną stroną internetową klubu.
Bramkarza w klubie powitał Szef Operacji Sportowych Legii Warszawa Fredi Bobić.
"Ivan Brkić jest bardzo doświadczonym bramkarzem i będzie pasował do naszego stylu gry. Analizowaliśmy zestawienie zawodników na tej pozycji i wymagała ona dołączania golkipera w jego kategorii wiekowej. Ivan dobrze się spisywał w Motorze Lublin, ma wysokie umiejętności. Jest typem lidera na boisku i poza nim, co ma dla nas duże znaczenie. Trener Maciej Kowal również jest zadowolony z tego transferu. Mamy w tle zdolnych, młodych bramkarzy z Akademii Legii, dla których będzie dobrym przykładem i przy którym będą się rozwijać" - zaznaczył Bobić.